Részletes ismertető a BME TTK Matematika Intézet által a mérnöki karok szervezett DOKTORANDUSZ KÉPZÉSÉBEN rendszeresen meghirdetésre kerülő tantárgyakról
A meghirdetett tárgyak felsorolása
Tematikák
A tárgyak meghirdetésének időrendje
Az Intézet által meghirdetett, egységes szempontok alapján összeállított tantárgycsoport tárgyai:
MÁTRIXANALÍZIS MÉRNÖKÖKNEK
NUMERIKUS OPTIMALIZÁLÁS
BIFURKÁCIÓK
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK ÉS BIFURKÁCIÓK 1
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK ÉS BIFURKÁCIÓK 2
NUMERIKUS MÓDSZEREK I.
NUMERIKUS MÓDSZEREK II.
OPERÁCIÓKUTATÁS
PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK MEGOLDÁSA
SZÁMÍTÓGÉPES GEOMETRIAI MODELLEZÉS
BEVEZETÉS A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK ELMÉLETÉBE
MATEMATIKAI STATISZTIKA MÉRNÖKÖKNEK
A Karok felkérésére a Matematika Intézet tanszékei által rendszeresen előadott tárgyak felsorolása:
Algebra Tanszék
NUMERIKUS MÓDSZEREK I.
NUMERIKUS MÓDSZEREK II.
Analízis Tanszék
FELSŐBB MATHEMATICA
FUNKCIONÁLANALÍZIS MÉRNÖKÖKNEK
SZÁMÍTÓGÉP AZ ALKALMAZOTT ANALÍZISBEN
WAVELET ANALÍZIS
Geometria Tanszék
FELÜLETEK SPLINE MODELLEZÉSE
NEM-EUKLIDESZI GEOMETRIÁK
KRISTÁLYGEOMETRIA
LIE CSOPORTOK ÉS REPREZENTÁCIÓELMÉLET
ALKALMAZOTT DIFFERENCIÁLGEOMETRIA
Tárgyfelelős: Dr. Petz Dénes
Euklideszi terek lineáris transzformációi; ortogonális, unitér szimmetrikus és projekció mátrixok; transzponált; adjungált inverz és általánosított inverz. Hadamard-szorzat; Schur szorzattétele; általánosítások; félcsoportokon értelmezett pozitív definit és negatív definit magok; példák és alkalmazások. Sajátértékek és szinguláris értékek; lokalizációs és variációs eredmények; szinguláris és poláris felbontás. Alkalmazások a differenciálegyenletek körében. Stabilis mátrixok; Ljapunov tételei; lineáris differenciálegyenletek. Blokkmátrixok, számtani-mértani közép egyenlőtlenség. Mátrixfüggvények, polinomok, négyzet gyök, logaritmus és exponenciális függvény; Lie-formula, monoton és konvex mátrixfüggvények, differenciálás. Nemnegatív elemű mátrixok; sztochasztikus és bisztochasztikus mátrixok; Birkhoff tétele, majorizálás. Véletlen mátrixok.
Tárgyfelelős: Dr. Petz Dénes
A globális szélsőérték feltételei. Egyváltozós és vonalmenti minimalizálás. Konjugált gradiens módszer. Newton-típusú módszerek, Broyden-módszer. Kis lépésnagyságú módszerek. Négyzetösszeg minimalizálása: a legkisebb négyzetek módszere. Lineáris programozás. Szimplex módszer és egyéb eljárások. Feltételes szélsőérték. Lagrange-multiplikátor. Konvex programozás. Dualitás. Kvadratikus programozás. Aktív halmazok módszere. Általános optimalizálás lineáris kényszerfeltételekkel. Cikkcakk-módszer. Nemlineáris programozás. Büntetőfüggvények alkalmazása. Lagrange-Newton módszer. Egész értékű programozás. Nem sima optimalizálás.
Elérhető programcsomagok: Numerical Recipes, NAG, Mathematica, Maple, Matlab, Scilab, Octave, stb.
Tárgyfelelős: Dr. Kovács Sándor
Autonóm rendszerek egyensúlyi helyzetei, strukturális stabilitásuk. Dinamikai rendszerek távolsága, ekvivalenciája, strukturális stabilitása. Andronov-Pontrjagin-Peixoto tétel. Gradiens rendszerek, Morse függvények, katasztrófaelmélet. Egyensúlyi helyzetek bifurkációi, nyereg-csomó, villa, stabilitásváltás (PHASER). Invariáns sokaságok, attraktook, stabilis, instabilis centrum sokaság. Poincare leképezés (PHASER, MAPLE). Zipzár bifurkáció (PHASER). Homoklinikus bifurkáció, periodikus megoldások, nyereg-csomó bifurkációja (PHASER). Periódus kettőzés (PHASER). Káosz, különös attraktorok, Sarkovszkij rendezés (PHASER).
Tárgyfelelős: Dr. Kovács Sándor
Az elemi analízis és lineáris algebra néhány alapfogalmának és eredményének áttekintése (polinomok stabilitása, vektorok és mátrixok: sajátértékek, (általánosított) sajátvektorok, stabilitás, Jordan-féle normál alak, mátrix exponenciálisa, kvadratikus alakok: főtengely-tétel, vektor-vektor-függvények deriválása: Taylor-formula, paraméteres integrálok, implicit függvényre vonatkozó tétel). Differenciálegyenletekkel kapcsolatos alapvető fogalmak (megoldások létezése és egyértelműsége, iránymező, fáziskép). Elemi megoldási módszerek (szeparábilis, homogén, lineáris, Bernoulli-, Riccati-, egzakt egyenletek). Lineáris rendszerek (a megoldáshalmaz szerkezete, homogén és inhomogén egyenletek megoldása, magasabbrendű lineáris egyenletek, Laplace-transzformáció).
Tárgyfelelős: Dr. Kovács Sándor
Autonóm differenciálegyenletek (trajektóriák osztályozása, invariáns halmazok, síkbeli autonom rendszerek). Stabilitás (lineáris rendszerek stabilitésa, a linearizálás módszere, Ljapunov-függvények). Lokális bifurkációk (strukturális stabilitás, nyeregcsomó-, transzkritikus, vasvilla- és Hopf-bifurkáció, diszkrét dinamikai rendszerek bifurkációi).
Tárgyfelelős: Dr. Gyurkovics Éva
Hibaszámítás, Gauss elimináció, Gauss transzformáció, Mátrixok LU-faktorizációjának létezése, LDMT és LDLT faktorizációk és alkalmazások. Pozitív definit mátrixok tulajdonságai és faktorizációjuk. Cholesky faktorizáció. Householder transzformáció és módszer. Általánosított inverz. Lineáris egyenletrendszerek kondicionáltsága, a közelítő megoldás elfogadásának kérdése. Jacobi-, Seidel-, SOR iterációi, az iteráció konvergenciája, hibabecslése. Optimalizációs típusú eljárások lineáris egyenletrendszerek megoldására. Gradiens módszer, konjugált gradiens módszer. Sajátértékek becslése. Hatványmódszer mátrixok sajátérték-sajátvektor feladatára. Inverz hatvány módszer. Mátrixok speciális alakra való transzformálása. Jacobi módszer sajátértékek és sajátvektorok meghatározására. QR módszer sajátértékek meghatározására.
Tárgyfelelős: Dr. Gyurkovics Éva
Közönséges interpoláció polinommal (Lagrange, Neville, Newton). Hermite interpoláció harmadfokú spline-nal. Közelítés legkisebb négyzetek értelemben. Közelítés legkisebb négyzetek értelemben polinommal pontrendszeren és intervallumon. Ortogonális polinomok és alkalmazásuk. Közelítés legkisebb négyzetek értelemben trigonometrikus polinommal, trigonometrikus interpoláció, a gyors Fourier-transzformáció alapja. Numerikus integrálás: Newton-Cotes formulák és alkalmazásuk. Gauss kvadraturák. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása. Polinomok gyökei. Egylépéses módszerek alapfogalmai: Taylor- sor módszer, Runge-Kutta formulák. Egylépéses módszerek stabilitása és konvergenciája. Egylépéses módszerek hibabecslése. Többlépéses módszerek. Peremérték feladatok megoldása: megcélzás módszere, véges differenciák módszere másodrendű lineáris differenciálegyenletekre.
Tárgyfelelős: Dr. Szántai Tamás
A lineáris programozási feladat és annak megoldása a szimplex módszerrel. A kétfázisó szimplex módszer. A lexikografikus szimplex módszer alkalmazása cilizálás elkerülésére. A módosított szimplex módszer. A dualítás tétel és Farkas Gyula tétele. A játékelmélet alapfeladata és a Neumann tétel. A duál szimplex módszer. A Gomory-féle metszősík algoritmus az egészértékű programozási feladat megoldására. A korlátozás és szétválasztés elve és annak alkalmazása a hátizsák feladat megoldására. A hozzárendelési feladat és annak megoldása magyar módszerrel. A Kőnig-Egerváry tétel. A szállítási feladat és megoldási módszerei. A nemlineáris programozás feladata. A Kuhn-Tucker optimalitási kritériumok. A nemlineáris programozás főbb megoldó algoritmusai.
Tárgyfelelős: Dr. Garay Barna
Az egyenletek származtatása, mechanikai-fizikai jelentése, alapvető típusaik és ezek tulajdonságai. Négy egyenlettípus: az elsőrendű, valamint a másodrendű elliptikus, parabolikus és hiperbolikus egyenletek ismertetése. A korrekt kitűzöttség (egzisztencia, unicitás, a kezdeti- és peremfeltételektől való folytonos függés) kérdései. A legfontosabb megoldási módszerek (véges differenciák, direkt variációs, Galerkin, végeselem) együttes és egyenkénti bemutatása.
Tárgyfelelős: Dr. Nagyné dr. Szilvási Márta
Geometriai algoritmusok; transzformációk. Vetítések. Poliédereket leíró adatrendszerek. Felületmodellezés kétparaméteres spline-függvényekkel. A számítógépi megjelenítés módszerei, CAD-rendszerek felépítése, típusai és az adatátvitel problémái.
Tárgyfelelős: Dr. Vetier András
Véges állapotterű Markov láncok: definíciók és példák; hosszú idejű viselkedés és stacionárius (invariáns) eloszlás; állapotok osztályozása; visszatérési és elérési idők; további példák és feladatok. Megszámlálható állapotterű Markov láncok: bolyongás az egész rácson; rekurrencia és tranziencia; pozitív rekurrencia és null-rekurrencia; elágazó folyamatok; további példák és feladatok. Folytonos idejű Markov láncok: a Poisson folyamat; véges állapotterű folytonos idejű Markov láncok; születési-halálozási folyamatok; további példák és feladatok. Felújítási folyamatok: bevezető példák; a felújítási egyenlet; diszkrét felújítási folyamatok; kiszolgálási problémák; további példák és feladatok. Reverzibilis Markov láncok: Markov láncok idő-megfordítása; reverzibilitás és következményei; konvergencia az egyensúlyhoz; Markov lánc algoritmusok; példák és feladatok. A Brown mozgás: bevezetés és definíciók; analitikus és valószínűségszámítási alaptulajdonságok; a Brown mozgás fraktális jellege; több dimenziós Brown mozgás. Diffúziók: példák és fenomenologikus leírás; kapcsolat a parabolikus és elliptikus differenciálegyenletekkel; további példák és alkalmazások. Bevezetés a sztochasztikus integrálásba: bolyongás szerinti sztochasztikus integrálás; Brown mozgás szerinti sztochasztikus integrálás; az Ito formula; alkalmazások és feladatok.
Tárgyfelelős: Dr. Tóth Bálint
Statisztikai módszerek: A valószínűségszámítási alapok, valószinűségi változó fogalma, jellemzői. Legfontosabb sztochasztikus modellek, független megfigyelések, azok részletösszegei, normális eloszlással való közelítés, Markov láncok, Poisson folyamat. Leíró statisztikák. A hipotézisvizsgálat alapelvei. Egymintás paraméterbecslés. Becslések tulajdonságai (torzítatlanság, efficiencia, konzisztencia) Egymintás hipotézisvizsgálat (u-próba, t-próba, c2-próba). Kétmintás becslések és hipotézisvizsgálat (kétmintás u-, t-, és F-próba). Egyváltozós lineáris regresszió, legkisebb négyzetek módszere. Többváltozós lineáris regresszió. Korrelációanalízis. Kontingenciatáblák, függetlenségvizsgálat, homogenitás vizsgálat. A varianciaanalízis alapesetei. Nemparaméteres próbák, Glivenko-Cantelli tétel, Kolmogorov-Szmirnov próba.
Elméleti háttér: Statisztikai mező. Becslések konstrukciója, momentumok módszere, Bayes becslés, maximum-likelihood becslés. Statisztikai próbák konstrukciója, Neymann-Pearson lemma, Bayes döntés, szekvenciális eljárások.
Statisztikai programcsomagok használata.
Tárgyfelelős: Dr. Szép Gabriella
Bevezető alapfogalmak(abszolút és relatív hiba, művelet és módszer hibája, különböző metrikák és normák). Nemlineáris egyenletek, egyenletrendszerek megoldásai (pl. húrmódszer, Newton módszer, fokozatos közelítés). Szélsőérték feladatok (gradiens módszer, nemlineáris egyenletek megoldása gradiens módszerrel). Lineáris egyenletrendszerek (Gauss módszer javítása, iterációs módszer, túlhatározott lineáris egyenletrendszer legkisebb négyzetekkel). Ortogonális rendszerek(vektorok, függvények, súlymátrix). Interpoláció (interpolációs polinomok, spline-ok. Approximáció (ismert függvények lineáris kombinációjával. Numerikus differenciálás. Numerikus integrálás. Differenciálegyenletek (közönséges de.: hatványsor, Runge-Kutta, spline).
Tárgyfelelős: Dr. Szép Gabriella
Sajátérték, sajátvektor feladatok. Moore-Penrose inverz (alul- es túlhatározott lineáris egyenletrendszerek). Parciális differenciálegyenletek (alaptípúsok, véges differenciák, végeselem). Integrálegyenletek (elfajult maggal közelítés, differenciálás, közelítés ismert fv-ek lin. kombinációjával, spline-okkal). Variációszámítás (spline-ok). Stabilitási kérdések (pl. differenciálegyenleteknél). Szimuláció.
Tárgyfelelős: Dr. Tóth János
Ismerkedés a Mathematicával. Mag, felhasználói felület, progarmcsomagok. Alapvető adatszerkezetek. Értékadások típusai. Mintázatok, opciók, kiértékelés. Külső kapcsolatok. Információforrások. Egy- és többváltozós függvények ábrázolása, egyenletmegoldás. Lineáris algebrai feladatok. A lineáris programozás alapfeladatai, alkalmazásai, változatok. Differenciálegyenletek szimbolikus, numerikus és kvalitatív vizsgálata. Programozási paradigmák megvalósítása: procedurális, logikai, funkcionális, listakezelő, objektum-orientált stílus. Kész dokumentumok előállítása.
Tárgyfelelős: Dr. Petz Dénes
Lineáris tér, formák, Hodge-operátor, Maxwell-egyenletek. Lineáris operátorok, normált tér, Banach-tér, Hilbert-tér. Banach-Steinhaus-tétel, nyílt leképezés tétele, zárt gráf tétel, Hahn-Banach-tétel. Duális terek. Korlátos lineáris operátorok Hilbert-téren. Ortogonális polinomok. Laplace egyenlet megoldása, gömbfüggvények. Kompakt operátorok, integrál operátorok. Fourier-transzformáció. Differenciáloperátorok és Green-függvényük. Sturm-Liouville-operátor, Green-függvénye.
Tárgyfelelős: Dr. Tóth János
Differenciál- és integrálszámítás. A függvényvizsgálat fizikai és analitikai kémiai alkalmazásai. Integráltranszformációk és alkalmazásaik. Komplex függvénytan. Leképezések megjelenítése. harmonikus társ keresése. Numerikus analízis. Gauss-elimináció polinomokra (Gröbner-bázis). A hangtan történetéből (Fourier-sorok). Integrálok szimbolikus kiszámítása (Riesch-algoritmus). Végtelen sorok összegének közelítő meghatározása (Wynn-algoritmus). Függvényközelítések: interpoláció, regresszió, Csebisev- és Painlevé-féle közelítés. Ortogonális polinomok. Közönséges és parciális differenciálegyenletek. A láncgörbe alakja. Egy kihűlési feladat. Gyógyszeradagolás. Összefüggőség és stabilitás. Generátorfüggvények. Fermat-elv (a variációszámítás alapfeladata). Kémiai hullámok, Turing-szerkezetek. Nemlineáris reakció-diffúzióegyenletek.
Tárgyfelelős: Dr. Nguyen Xuan Ky
Harmonikus rezgés elemei (amplitúdó, frekvencia). Véges és végtelen összegre való felbontás. Jelek analízise és szintézisek problémái a Fourier-sor, transzformáció segítségével. Wavelet-sor, wavelet-transzformáció bevezetése. Példa: Haar-wavelet. Wavelet-analízis feladata. Véges dimenziós euklideszi tér bázisai (ortonormált-, duál-, reciprok-bázisok). Hilbert-tér elemei. Az ortonormált bázis. Parseval- formula. Minimum-tulajdonság. Riesz-Fisher-tétel. l2-tér, L2-tér. Ortonormált rendszerek, polinomok. Lineáris funkcionálok. Fourier-transzformáció. Plancherel-tétel. Rekonstruálási formula. Poisson-féle szumációs formula. Ablak Fourier-transzformációk. Alkalmazás az időbeli és frekvencia lokalizációjára. Diszkrét-, gyorsított Fourier-transzformációk. Diszkrét jelek kiszámítása. Wavelet transzformációk,- sorok értelmezése, köztük levő kapcsolat. Rekonstruálási formulák. Időfrekvencia lokalizációja. Bizonytalan elv. Gábor D. transzformáció és alkalmazásai. Riesz-bázis. Leválasztási függvény. Multi-felbontás tulajdonságai. Spline-leválasztási függvény, spline-waveletek. Haar-wavelet - sorok, konvergencia-feltétel. Diszkrét Haar-transzformáció diszkrét jelekre. Daubechies-waveletek. Trigonometrikus waveletek. Shannon-féle mintavételi tétel. Mintavételezés az idő-frekvencia tartományon. Az ortogonalizálás problémája. A tárgyalás során, néhány konkrét esetben számítógépes programmal illusztráljuk az anyagot.
Tárgyfelelős: Dr. Nagyné dr. Szilvási Márta
Polinomiális spline függvények. Interpolációs görbeillesztési eljárások. Hermite, Beziér és B-spline görbék és felületek létrehozása és tulajdonságai. Csatolási feltételek. Számítógépes megjelenítés.
Tárgyfelelős: Dr. Molnár Emil és Dr. G. Horváth Ákos
Axiomatikus módszer. Modellezés síkon, térben. Gömbi és Bolyai-Lobacsevszkij-féle hiperbolikus geometria modelljei inverzív- és projektív síkon. Einstein-Minkowski-féle tér-idő a speciális relativitás elve alapján. Infinitezimális mérés és a Riemann-geometriák alapgondolata. Schwarzschild-modell.
Tárgyfelelős: Dr. Molnár Emil
Alakzat, pontrendszer szimmetriái. BRAVAIS rácsok. Pontcsoport. Aritmetikai és geometriai kristályosztály. Kristályok modellezése poliéderekkel. Az osztályozás alapgondolata. Izomorfia és affin ekvivalencia. A Pm, Bm, PB, Bb tércsoportok levezetése. Kitekintés és alkalmazások.
Tárgyfelelős: Dr. Szenes András
Tárgyfelelős: Dr. Szirmai Jenő
Görbék evolútája és evolvense. Síkbeli görbesereg burkolója. Felületsereg burkolófelülete, vonalfelületek. Felületek normálmetszetei. Gauss görbület, felületi pontok osztályozása. Geodetikus görbék, görbületi vonalak. Oszkuláló paraboloid. Felületek metszésvonala. Összefüggések felületi integrálokra.
Az 1. csoport a Matematika Intézet által 2 éves periodicitással meghirdetett, egységes szempontok alapján összeállított 10 tárgyat tartalmazza. A 2. csoportba a Karok felkérésére a tanszékek gondozásában rendszeresen előadott tárgyak kerültek.
Páratlan évek, tavaszi szemeszter:
Páratlan évek, őszi szemeszter:
Páros évek, tavaszi szemeszter:
Páros évek, őszi szemeszter:
Budapest, 2002. december 6.