PhD tárgyak

Doktorandusz hallgatóknak ajánlott
Geometriai témájú tárgyaK

Minkowszki geometriák

Tárgykód: BMETE94D001; Követelmény: 2/0/0/V/3; Tárgyfelelős: Dr. G. Horváth Ákos;

Tematika: Geometriai Minkowski tér, azaz a végesdimenziós Banach terek geometriája. Alapfogalmak alapalakzatok, biszektor, kúpszelet, térfogatfogalmak, automorfimus csoportok. Véges dimenziós pszeudo-euklidészi tér, tér-idő, Rieman és Pszeudo-Rieman struktúrák. Szemi-indefinit skalár szorzat. Általánosított Minkowski tér, speciális relativitás elmélet általánosított tér-idő modellben, determinisztikus és véletlen idő-tér modell, Einstein egyenlet idő-tér modellben.

Irodalom:
G. Horváth Ákos: Csodálatos geometria, Typotex 2013.

A klasszikus mezőelméletek geometriája 2

Tárgykód: BMETE947204; Követelmény: 2/0/0/V/3; Tárgyfelelős: Dr. Etesi Gábor;

Tematika: Komplex és majdnem komplex sokaságok definíciója, holomorf vektornyalábok; tenzorok felbontása majdnem komplex sokaságok felett; a majdnem komplex-sokaságok integrálhatóságára vonatkozó Newlander--Nirenberg-tétel kimondása. A tvisztor-tér fogalma: egy négydimenziós irányított Riemann-sokaság tvisztor-tere; ezen kanonikus majdnem komplex struktúra előállítása; a majdnem komplex struktúra integrálható, ha a Riemann-sokaság félig konformálisan lapos (Penrose, Atiyah--Hitchin--Singer); példák tvisztor-terekre: a kerek S⁴ tvisztor-tere C(P3) és ennek meseszép geometriája. Az ADHM-konstrukció: az (anti)öndualitási-egyenletek megoldása tvisztor-terekkel. Spinorok és a Dirac-egyenlet: egy skalárszorzatos vektortér Clifford-algebrája; a Clifford-algebrák és irreducibilis reprezentációik osztályozása; a spinor fogalma; Riemann-sokaságok spin-struktúrái és létezésük topológiai akadálya, a spinor-mező fogalma; a Dirac-operátor, Dirac-egyenlet; spin(c)-struktúrák. A klasszikus mező-elméletek általános szerkezete: egy általános relativisztikus téridő fölötti Yang--Mills-elméletek szerkezete klasszikus szinten: a részecskefizika Standard Modellje. A mező-elméletek kvantálásának óriási matematikai és fizikai (koncepcionális) nehézségei. A Seiberg--Witten-elmélet elemei: A Seiberg--Witten egyenletek, a megoldások modulus-terének kompaktsága; egy sima 4-sokaság Seiberg--Witten-invariánsa.

Irodalom:
Fizika és geometria, Fizikus-matematikus nyári iskola Óbánya,1997., Barnaföldi G., Rimányi R., Matolcsi, T., 1999.
R.S. Ward, R.O. Wells: Twistor geometry and field theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1991).
R.M. Wald: General relativity, University of Chicago press, Chicago, 1984.

Bevezetés az Atiyah--Singer index-tétel témakörébe

Tárgykód: BMETE947211; Követelmény: 2/0/0/V/3; Tárgyfelelős: Dr. Etesi Gábor;

Tematika: Szoboljev-terek sokaságokon: egy sokaság feletti vektornyaláb szeléseiből Álló különböző Szoboljev-terek konstrukciója; Szoboljev beágyazási tétele és a Rellich--Kondrashov kompaktsági tétel. Elliptikus differenciál-operátorok sokaságokon: egy sokaság feletti differenciál-operátor fogalma; lineáris differenciál-operátor szimbóluma és elliptikusságának definíciója; a Fredholm-operátor fogalma és egy ilyen operátor analitikus indexe; egy kompakt sokaság feletti lineáris elliptikus differenciál-operátor Fredholm; az Atiyah--Singer index-tétel egyik oldala: egy elliptikus operátor analitikus indexe. A topologikus K-elmélet elemei: egy topologikus tér feletti vektornyalábok félgyűrűje; egy félgyűrű Grothendieck-bővítése és a topologikus tér K-csoportja; egy elliptikus operátor index-nyalábja; az Atiyah--Singer index-tétel másik oldala: egy elliptikus operátor topologikus indexe; az Atiyah--Singer index-tétel kimondása: az analitikus és a topologikus indexek egyenlőek. Számolások: A Dirac- és a Laplace-operátorok indexeinek kiszámolása; különböző deformációs komplexusok indexei, stb. Az index-tétel hővezetési-egyenletes bizonyításáról: a hővezetési-egyenlet egy Riemann-sokaságon; a hővezetési-egyenlet megoldása hőmag-kifejtéssel; a hőmag hosszúidejű aszimptotikája az analitikus index; a hőmag rövididejű aszimptotikája a topologikus index; a hőmag időfüggetlensége és az index-tétel.

Divízió-algebrák és szuperszimmetrikus Yang--Mills-elméletek

Tárgykód: BMETE947205; Követelmény: 2/0/0/V/3; Tárgyfelelős: Dr. Etesi Gábor;

Tematika: Normált divízió-algebrák alapvető tulajdonságai: definíció, a legfontosabb példák: a valós-, a komplex-számok, a kvaterniók és az októniók (Cayley számok) mint normált divízió-algebrák; a legfontosabb algebrai és topológiai tulajdonságok. Clifford-algebrák ´es a Hurwitz-tétel: egy valós skalárszorzatos vektortér Clifford-algebrája; a valós Clifford-algebrák és irreducibilis reprezentációik osztályozása; a spinor fogalma; az osztályozás néhány algebrai és topológiai következménye; a trialitás; egy fontos következmény: a normált divízió-algebrák Hurwitz-féle osztályozásának egy modern bizonyítása; megjegyzés a nem-egységelemes normált divízió-algebrák osztályozásáról, ill. az alternatív divízió-algebrák osztályozásáról (Frobenius tétele). Szuperszimmetrikus Yang–Mills-elméletek: A Yang–Mills-mező és a spinor-mező definíciója sokaságokon; egy Yang–Mills- és egy spinor-mezőböl álló minimálisan csatolt klasszikus mező-elmélet definíciója tetszőleges pszeudo-Riemann-sokaság felett; a szuperszimmetria-algebra definíciója tetszőleges pszeudo-Riemann-sokaság felett; annak bizonyít´asa, hogy amennyiben A egy n-dimenziós valós, egységelemes, normált divízió-algebra, akkor a fentebbi klasszikus mező-elmélet szuperszimmetrikus az n + 2 dimenziós Minkowski-téridőn; a Hurwitz-tétel következménye: egy spinormezőhöz minimálisan csatolt Yang–Mills-elmélet szuperszimmetrikus a d dimenziós Minkowski-téridőn akkor és csak akkor, ha d = 3; 4; 6; 10. Szuperszimmetrikus Yang–Mills-elméletek sokaságokon: a szuperszimmetrikus Yang–Mills-elmélet definíciója sokaságokon; az N = 2 szuperszimmetrikus Yang–Mills-elmélet konstrukciója tetszőleges 4-dimenziós Riemann-sokaságon: A Witten-féle topologikus csavarás.

Klasszikus nemeuklideszi geometriák és modelljeik

Tárgykód: BMETE947207; Követelmény: 2/0/0/V/3; Tárgyfelelős: Dr. Szirmai Jenő;

Tematika: Az n-dimenziós szférikus (elliptikus) és a Bolyai-Lobacsevszkij- féle hiperbolikus állandó görbületű geometriáknak az MSc képzés során elkezdett vizsgálatát folytatjuk a tárgy keretében. A korábbi ismeretek felelevenítése után a geometriák projektív modelljeinek felhasználásával kiépítjük a geometriák teljes trigonometriáját, Klasszikus euklideszi tételek megfelelőit bizonyítjuk az elliptikus és hiperbolikus síkon (Ceva, Menelaos, Heron-formula, stb.) Kiszámítjuk a hiperbolikus n-dimenziós gömbök (horoszféra, hiperszféra, hagyományos gömb) típusainak egyenleteit, térfogatait. Áttekintjük az ú.n. komplett ortoszkémek osztályozását, kitérve a háromdimenziós Lambert-kocka típusaira. Számolási apparátust tárgyalunk hiperbolikus poliéderek metrikus adatainak kiszámítására. Az elliptikus és hiperbolikus síkban vizsgáljuk a területszámítási és átdarabolhatósági kérdéseket majd levezetjük a háromdimenziós hiperbolikus ortoszkémek térfogatformuláját, kitekintünk a magasabb dimenziós ortoszkémek térfogatszámolási kérdéseire és eredményeire. Kitérünk az n-dimenziós hiperbolikus térben az elhelyezések és fedések sűrűségének definiálási problémájára, majd az elhelyezési és fedési kérdéskör eredményeire és nyitott feladataira.

Irodalom:
E.B. Vinberg (ed): Geometry II, Springer Verlag, 1993.
Thurston, W. P. (and Levy, S. ed.) Three-Dimensional Geometry and Topology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1997.

Thurston geometriák és modelljeik

Tárgykód: BMETE94D006; Követelmény: 2/0/0/V/3; Tárgyfelelős: Dr. Szirmai Jenő;

Tematika: W. P. Thurston bizonyította, hogy nyolc háromdimenziós, maximális, homogén Riemann geometria létezik. Az három klasszikus állandó görbületű geometria (euklideszi, hiperbolikus, szférikus (elliptikus) mellett öt további (Nil, Sol, S²xR, H²xR, SL(2,R)) létezik. E. Molnár bizonyította, hogy ezek mindegyike modellezhető a háromdimenziós projektív térben vagy projektív szférán. A hiperbolikus és elliptikus tér klasszikus projektív modeljeinek áttekintése után a tárgy keretében megismerjük a további geometriák modeljeit, kiszámítjuk geodetikusait, transzlációs görbéiket, kiszámítjuk a geodetikus és transzlációs gömbjeik térfogatát. Vizsgáljuk speciális poliéderek térfogatát. Tárgyaljuk egybevágósági csoportjaikat, kiemelve a diszkrét egybevágóság-csoportjaikat. Több geometriánál felsoroljuk kristálycsoportjaikat illetve diszkrét eltoláscsoportjaikat, rácsaikat, megvizsgáljuk azok osztályozási kérdéseit. Mindezek az ismeretek lehetőséget adnak érdekes diszkrét geometriai problémák felvetésére illetve klasszikus euklideszi diszkrét feladatok általánosítására. Ezek egyikét az euklideszi klasszikus Kepler-sejtés általánosítását további Thurston geometriákra részletesen is megvizsgáljuk, mert ez a kérdéskör szorosan kapcsolódik anyagszerkezeti kérdésekhez is.

Komplex algebrai görbék feletti vektornyalábok

Tárgykód: BMETE947208; Követelmény: 2/0/0/V/3; Tárgyfelelős: Dr. Szabó Szilárd;

Tematika: Algebrai görbe, vektornyaláb, első Chern osztály, koherens kéve, Cech-kohomológia, görbe neme, Riemann--Hurwitz képlet, Abel--Jacobi leképezés, Jacobi-varietás, lineáris rendszer, Riemann--Roch képlet, Serre-dualitás. Csoport-hatás varietásokon, linearizáció, stabilitas, Hilbert--Mumford kritérium, geometriai invariánselméleti hányados, Marsden--Weinstein- es Kaehler-hányados, Harder--Narasimhan filtrálás, Yang--Mills elmélet Riemann-felületen.

Irodalom:
P. Griffiths, J. Harris: Principles of Algebraic Geometry
D. Mumford, J. Fogarty, F. Kirwan: Geometric Invariant Theory
P. Newstead: Introduction to Moduli Problems and Orbit Spaces

Bevezetés a Hodge-elméletbe

Tárgykód: BMETE947209; Követelmény: 2/0/0/V/3; Tárgyfelelős: Dr. Szabó Szilárd;

Tematika: Vektornyalábok, differenciál-operátorok, elliptikus operátorok kompakt sokaságok felett, Hodge-izomorfizmus, Kaehler-sokaságok, Kaehler-azonosságok, Hodge-izomorfizmus és -felbontás, nehéz Lefschetz-tétel, Hodge--Riemann-féle bilineáris relációk, Froechlicher spektrál-sorozat, Kodaira--Spencer-féle félig-folytonossági tétel, Hodge-struktúra-változtatások, Gauss--Manin konnexió, Griffiths-transzverzalitás, infinitezimális változtatások.

Irodalom:
P. Griffiths, J. Harris: Principles of Algebraic Geometry
J.Bertin, J-P. Demailly, L. Illusie, C. Peters: Introduction a la theorie de Hodge
R. Wells: Differential Analysis on Complex Manifolds

Konvex geometria

Tárgykód: BMETE947206; Követelmény: 2/0/0/V/3; Tárgyfelelős: Dr. Lángi Zsolt;

Tematika: Konvex halmazok alapvető tulajdonságai. Radon, Carathéodory és Helly tételei. Euler karakterisztika. Extremális pontok, a Krein-Milman tétel. A Birkhoff politóp. Konvex kúpok. Topologikus vektorterek. Elválasztási tételek és a Krein-Milman tétel topologikus vektorterekben. A Ljapunov konvexitási tétel. Polaritás, dualitás és lineáris programozás: polaritás az euklideszi térben. Lineáris programozási feladatok és alkalmazásaik: poliedrikus, szemidefinit lineáris programozás, lineáris programozás. Maximális térfogatú beírt ellipszoid. Normák. Az ellipszoid módszer. Mérték és távolság az egységgömbön. Rácsgeometria: rácsok és determinánsuk. Minkowski tétele. Alkalmazás: közelítés racionális számokkal. A Minkowski--Hlawka tétel. Redukált bázis és a Lenstra--Lenstra--Lovász algoritmus.

Irodalom:
Alexander Barvinok: A Course in Convexity, Graduate Studies in Mathematics 54, AMS, Providence RI, USA, 2002.

Kvantum csatornák

Tárgykód: BMETE947210; Követelmény: 2/0/0/V/3; Tárgyfelelős: Dr. Vrana Péter;

Tematika: Kvantummechanika alapjainak áttekintése, állapotok, obszervábilisek, csatornák, összetett rendszerek, kvantum-klasszikus rendszerek, mérések. Távolságok az állapotok és obszervábilisek terén, kontrakciós együtthatók. Csatorna-félcsoportok. Entrópiák és kölcsönös információ. Kvantum forrás, zajmentes kódolás. Csatorna klasszikus és kvantum kapacitása, sűrű kódolás. Lokális operációk összetett rendszereken, összefonódott állapotok és transzformációik. Heisenberg-kép és végtelen szabadsági fokú rendszerek alapjai.

Irodalom:
Mark M. Wilde, From Classical to Quantum Shannon Theory, 2012.
Michael M. Wolf, Quantum Channels & Operations – Guided Tour, 2012 .